写像：　集合$A$から集合$B$ への対応を写像と言い$f : A → B$ と書きます。$a ∈ A$に対して$f(a) ∈ B$ が対応します。例えば、$\{1, 2\}$ から$\{1, 2, 3\}$ への写像は次の9個の写像$g_i : \{1, 2\} → \{1, 2, 3\} (1 ≦ i ≦ 9)$ です。

• $g_1(1) = 1,g_1(2) = 1,　g_2(1) = 1, g_2(2) = 2,　g_3(1) = 1,g_3(2) = 3,$
• $g_4(1) = 2, g_4(2) = 1,　g_5(1) = 2, g_5(2) = 2,　g_6(1) = 2, g_6(2) = 3,$
• $g_7(1) = 3, g_7(2) = 1,　g_8(1) = 3, g_8(2) = 2,　g_9(1) = 3, g_9(2) = 3$

• $h_1(1) = 1, h_1(2) = 1, h_1(3) = 1,　h_2(1) = 1, h_2(2) = 1, h_2(3) = 2,$
• $h_3(1) = 1, h_3(2) = 2, h_3(3) = 1,　h_4(1) = 1, h_4(2) = 2, h_4(3) = 2,$
• $h_5(1) = 2, h_5(2) = 1, h_5(3) = 1,　h_6(1) = 2, h_6(2) = 1, h_6(3) = 2,$
• $h_7(1) = 2, h_7(2) = 2, h_7(3) = 1,　h_8(1) = 2, h_8(2) = 2, h_8(3) = 2$

• $k_1(1) = 1, k_1(2) = 2, k_1(3) = 3,　k_2(1) = 1, k_2(2) = 3, k_2(3) = 2,$
• $k_3(1) = 2, k_3(2) = 1, k_3(3) = 3,　k_4(1) = 2, k_4(2) = 3, k_4(3) = 1,$
• $k_5(1) = 3, k_5(2) = 1, k_5(3) = 2,　k_6(1) = 3, k_6(2) = 2, k_6(3) = 1$

定理A（オーレの定理）：　$n\in\mathbb{N}$を$n\geqq 3$であるものとする。グラフ$(V,E)$が$n=n(V)$および次の条件$(*)$をみたすとする。

(*) $\quad\quad \{v,w\}\in P_2(V)$が$\{v,w\}\notin E$であるならば$d(v)+d(w)\geqq n$

このとき$(V,E)$はハミルトン閉路グラフである。

証明：　（[8] を参考にした。）　$n=3$のときは簡単であるので$n \geqq 4$と仮定する。
$V=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$とする。以下の手順を繰り返すことによりハミルトン閉路である全単射な写像$f:\{1,2,\ldots,n\}\to V$を得ることができる。
$\{v_i,v_{i+1}\}\in E$ $(1 \leqq i\leqq n-1)$および$\{v_n,v_1\}\in E$であるならばハミルトン閉路$f$を$f(i)=v_i$ $(1\leqq i\leqq n)$により定義すればよい。そうでなければつぎの（あ）、（い）または（う）の状態である。

• （あ）　$\{v_1,v_2\}\notin E$である。
• （い）　$\{v_i,v_{i+1}\}\notin E$である$2\leqq i\leqq n-1$が存在する。
• （う）　$\{v_n,v_1\}\notin E$である。

($(\sharp)$の証明：　$A^\prime=\{i\in\{1,2,\ldots,n\}|3\leqq i\leqq n-1, i\in A \}$とおく。 $n\notin A$のとき$A^\prime=A$である。 $n\in A$のとき$A=A^\prime\cup\{n\}$であるので$n(A^\prime)=n(A)-1$である。 $B^\prime:=\{i\in\{1,2,\ldots,n\}|3\leqq i\leqq n-1, i+1\in B\}$とおく。 $C=A^\prime\cap B^\prime$である。 $3\notin B$のとき、$n(B^\prime)=n(B)$であり、$3\in B$のとき、$n(B^\prime)=n(B)-1$である。 次の等式が成り立つ。 \begin{equation*} \begin{array}{l} n(\{i\in\{3,\ldots,n-1\}|i\notin B^\prime\} )\\ \quad = (n-3)-n(B^\prime) \\ \quad = \left\{\begin{array}{ll} (n-3)-n(B) & (\mbox{$3\notin B$のとき}), \\ (n-3)-(n(B)-1) & (\mbox{$3\in B$のとき}), \end{array}\right. \\ \quad \leqq (n-2)-n(B) \\ \quad \leqq n(A)-2 \\ \quad < n(A)-1 \\ \quad \leqq n(A^\prime) \end{array} \end{equation*} よって、$A^\prime\cap B^\prime\ne\emptyset$である。 ゆえに$C\ne\emptyset$である。 $(\sharp)$の証明終わり。)

$i\in C$とする。$v^\prime_j\in V$ $(1\leqq j\leqq n)$を次で定義する。

\begin{equation*} v^\prime_j =\left\{ \begin{array}{ll} v_1 & \quad (\mbox{$j=1$のとき}), \\ v_{i-j+2} & \quad (\mbox{$2\leqq j\leqq i$のとき}), \\ v_j & \quad (\mbox{$i+1\leqq j\leqq n$のとき}) \end{array}\right. \end{equation*} $P_2(V)$の部分集合$H$, $H^\prime$を、それぞれ、 \begin{equation*} \begin{array}{lcl} H &:= & (\{\{v_k,v_{k+1}\}|1\leqq k\leqq n-1\}\cup\{\{v_n,v_1\}\})\cap E, \\ H^\prime &:= & (\{\{v^\prime_k,v^\prime_{k+1}\}|1\leqq k\leqq n-1\}\cup\{\{v^\prime_n,v^\prime_1\}\} )\cap E \end{array} \end{equation*} により定める。 つぎの等式を得る。 \begin{equation*} \begin{array}{lcl} n(H^\prime) & = & \left\{\begin{array}{ll} n(H)+2 & \quad\mbox{$\{v_i,v_{i+1}\}\notin E$のとき}, \\ n(H)+1 & \quad\mbox{$\{v_i,v_{i+1}\}\in E$のとき}, \end{array}\right. \\ & > & n(H) \end{array} \end{equation*} $v^\prime_1,\ldots, v^\prime_n$を、 新たな $v_1,\ldots, v_n$としてこの手順を繰り返せばよい。　　　　$\Box$

下記の図１の表わすグラフに上の定理の証明を適用すると、下記の手順(i)～(xii)で図２の赤い辺の部分が表すハミルトン閉路が得られます。