直線が織りなす曲面

【数学科】古田 高士

今回は直線によって作られる曲面をいくつか紹介します．

直線が動いてできる曲面は線織面せんしょくめんと呼ばれます．平面，円柱，円錐は線織面の典型例です．

円錐は傘の形ですが，次図のWhitneyの傘も直線から作られる線織面です．

金沢駅鼓門の柱は，次図の一葉双曲面を線織面と見たものであり，2通りの直線の動かし方があります．3枚目の画像は2つを重ねたものです．

次図の双曲的放物面も線織面として2通りの動かし方があり，重ねると3枚目の画像になります．

線織面であって，極小曲面（すなわち，面積が極小の曲面）であるものは，らせん階段のような次図の常螺旋面です．

有名なメビウスの帯も直線を動かして作られる線織面です．その縁はぐるっと回って元の位置に戻ります．

次図は曲線の各点での接線を集めて作られる接線曲面で，直線として接線を動かしてできる線織面です．曲線がらせんの場合を描きました．

また，直線の代わりに円を動かして作られる次図の円柱とドーナツは（中心線の長さが等しく，中身が詰まっているものとして），体積が同じです．

実は，円の中心の描く曲線を多少曲げても，曲がり方が急激でなければ，どれも同じ体積になることが証明されています（ホテリングの定理）．

【参考文献】
• [1] A. Gray, E. Abbena and S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with MATHEMATICA, Third Edition, Chapman & Hall/CRC, 2006.