病的函数の間に違いはあるか

　ここでいう病的函数とは, 実数直線$\,\mathbb{R}$上で定義され, $\mathbb{R}$のすべての点で連続かつ$\,\mathbb{R}$のすべての点で微分不可能な函数のことである。直観的に言えば,病的函数とは,$\,\mathbb{R}$上のすべての点で切れ目なく繋がっているギザギザだらけの函数である。このような函数は,1875年に K.Weierstrass により初めて発表された。
それは,$\,a\,$は実数で$\,0 < a < 1$,$\;b\,$は奇数で,$\,\displaystyle{ab>1+\frac{3\pi}{2}}\,$と仮定したときの, 函数 $$F(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a^n\,\cos(\pi b^n x),\quad\,x\in\,\mathbb{R}$$ である。すぐにこの函数の重要性が認識され, 他の病的函数が作られたり, Weierstrassの結果の改良がなされた。