第10回整数論サマースクール

「概均質ベクトル空間」

最終更新日：2003年5月13日．更新箇所．

概要

期間

2002年8月17日（土）から21日（水）まで4泊5日

会場

浜名湖カリアック

（静岡県浜松市村櫛町4597浜名湖頭脳公園内）

対象

原則として数学系の大学院に属する学生および大学・高専等の数学教員

テーマ「概均質ベクトル空間」

1960年代の佐藤幹夫先生の先駆的着想に始まる概均質ベクトル空間の理論は、その後様々な分野との関連を深めながら発展し活用されています。本スクールでは、序盤において、修士課程程度の予備知識のもと、概均質ベクトル空間およびそれに附随するゼータ関数の理論を具体例を見ながら学び、後半では理論の整数論的応用、および不変式論への応用について学習しました．

費用

35,000円〜52,000円．

交通案内と注意事項

こちらをご覧ください．

プログラム予定

*: 初日の講演は、木村達雄先生の講演が15:00〜となり、以降、表の1行目とは30分ずれる．

**: 18日八森氏の講演は19:30〜20:15.

講義要旨と参考文献（敬称略）

(1) 木村 達雄（筑波大）「概均質ベクトル空間の定義と基本的性質」

概均質ベクトル空間の定義および基本的性質について復習する．とくに，相対不変式や正則性についての一般論について解説する．報告集原稿（dvi）．

参考文献:

[佐藤] 佐藤幹夫，概均質ベクトル空間の理論 (新谷卓郎 記), 数学の歩み 15(1970), 85--157.

[SK] M.Sato and T.Kimura, A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their invariants, Nagoya Math. J. 65(1977), 1--155.

[木村] 木村達雄，概均質ベクトル空間，岩波書店，1998.

 

(2) 若槻 聡（大阪大）「概均質ベクトル空間の b-関数」

はじめに，1変数の b-関数について解説する．そのあと，この後の講演で解説される概均質ベクトル空間の例を，b-関数と一緒に説明する．最後に，多変数の b-関数について解説する．アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）．

参考文献:

[K] T.Kimura, The b-functions and holonomy diagrams of irreducible regular prehomogeneous vector spaces, Nagoya Math. J. 85(1982), 1--80.

[木村] 木村達雄，概均質ベクトル空間，岩波書店，1998.

[佐藤] 佐藤幹夫，概均質ベクトル空間の理論 (新谷卓郎 記), 数学の歩み 15(1970), 85--157.

 

(3)(4) 杉山 和成（筑波大）「概均質ベクトル空間の基本定理 I,II」

（1時間目） 最初に，Riemann ゼータ関数の関数等式を概均質ベクトル空間の理論風に導く．また，岩澤-Tate理論に現れる局所体上のゼータ関数について解説する．最後に，局所ゼータ関数の解析接続について説明する．

(2時間目) 群が簡約可能で，特異集合が絶対既約な超曲面の場合の基本定理を解説して，その応用として b-関数の関数等式を導く．詳しい教科書[K]があるので，証明をするというよりは，キーポイントを抑えるという形にする．また，局所ゼータ関数の関数等式の色々な例についても説明する．アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）．

参考文献:

[GS] I.M.Gelfand and G.E.Shilov, Generalized functions, vol 1, Academic Press, New York, 1964.

[I] J.-I. Igusa, An introduction to the theory of local zeta functions, Studies in Advanced Mathematics 14, American Mathematical Society, 2000.

[木村] 木村達雄，概均質ベクトル空間，岩波書店，1998.

[SS] M.Sato and T.Shintani, On zeta functions associated with prehomogenous vector spaces, Ann. of Math. 100(1974), 131--170.

[Sh] T.Shintani, On Dirichlet series whose coefficients are class numbers of integral binary cubic forms, J. Math. Soc. Japan 24(1972), 132--188.

[T] J.Tate, Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta functions, Algebraic number theory (ed. by J.W.S.Cassels and A.Fr"ohlich), Academic Press, 1967, 305--347.

 

(5)(6) 上野 隆彦（立教大）「概均質ベクトル空間のゼータ関数 I,II」

概均質ベクトル空間の (大域的)ゼータ関数の定義について復習して，[SS] による関数等式の証明法について解説する．以上のことを踏まえて，Epstein, Dedekind, Siegel のゼータ関数などの古典的なゼータ関数について説明する．（アブストラクトI, 同II、報告集原稿I（dvi）、同II（dvi））．

参考文献:

[木村] 木村達雄，概均質ベクトル空間，岩波書店，1998.

[SS] M.Sato and T.Shintani, On zeta functions associated with prehomogenous vector spaces, Ann. of Math. 100(1974), 131--170.

[Sh] T.Shintani, On Dirichlet series whose coefficients are class numbers of integral binary cubic forms, J. Math. Soc. Japan 24(1972), 132--188.

 

(7) 佐藤 文広（立教大）「関数等式の一般化」

有限体・p進体上でのゼータ関数の類似およびその関数等式について解説する．時間があれば，多変数ゼータ関数，保型形式付きゼータ関数，非正則などの一般化についてもコメントする．アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）、阪大講義録「概均質ベクトル空間の保型形 式つきゼータ関数」（dvi）．

参考文献:

[DG] J.Denef and A.Gyoja, Character sums associated to prehomogeneous vector spaces, Compositio Math. 113(1998), 273--346.

[G] A.Gyoja, Theory of prehomogeneous vector spaces without regularity condition, Publ. RIMS. 27(1991), 861--922.

[FS1] F.Sato, Zeta functions in several variables associated with prehomogeneous vector spaces I: Functional equations, T^ohoku Math. J. 34(1982), 437--483.

[FS2] F.Sato, On functional equations of zeta distributions, Adv. Studies in pure Math. 15(1989), 465--508.

[FS3] F.Sato, Zeta functions of prehomogeneous vector spaces with coefficients related to periods of automorphic forms, Proc. Ind. Acad. (K.G.Ramanathan memorial issue) 104(1994), 99--135.

 

(8) 落合 啓之（東京工大）「裏返し変換」

1. 裏返し変換(佐藤幹夫)

2. contruction(行者)

3* 分類との関係

4. 相対不変式、b-関数、Fourier 変換との関係

5. 予想

参考文献：

木村達雄, 概均質ベクトル空間, 岩波書店

A.Gyoja, A theorem of Chevalley type for prehomogeneous vector spaces, J. Math. Soc. Japan, 48(1996) 161-167.

アブストラクト、報告集原稿（dvi）

 

(9) 落合 啓之（東京工大）「べき零軌道と概均質ベクトル空間」

1. Jacobson-Morozov

2. Dynkin-Kostant, so called

3. prehomogeneous vector spaces of commutative parabolic type

4* in terms of Jordan algebra, Hermitian symmetric space

5. relative invariants and orbit decomposition

6* / R.

7* classification(classical, exceptional)

1,2,3,5 を話す予定。

参考文献:

Collingwood-McGovern, Nilpotent orbits in semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1993

I. Muller, H. Rubenthaler, G. Schiffmann, Structure des espaces pr'ehomog`enes associ'es `a certaines alg`ebres de Lie gradu'ees, Math. Ann., 274(1), 1986, 95--123.

アブストラクト、報告集原稿（dvi）（注：手書きの図の部分は空白です）．

 

(10) 名倉 誠（筑波大）「Sato--Kimuraの分類(既約概均質ベクトル空間の分類)」

[要旨] 概均質ベクトル空間の分類理論について，佐藤幹夫先生，木村達雄先生のお仕事の紹介をします．理論の細部に立ち入るよりも，歴史的な流れやアイディアの部分を解説する予定です．アブストラクト、報告集原稿（dvi）．

[参考文献]:

1) M. Sato and T. Kimura, A classification of irreducible prehomogeneous vector spaces and their relative invariants, Nagoya Math. J., 65 (1977), 1--155.

2) 木村達雄, 概均質ベクトル空間, 岩波書店, 1998.

3) T. Kimura, A classification theory of prehomogeneous vector spaces, Adv. Stud. Pure Math. 14 (1988), 223--256.

 

(11) 谷口 隆（東大）「概均質ベクトル空間のゼータ関数と密度定理」

要旨: 概均質ベクトル空間の中に、ゼータ関数の極の主要部の情報から数論的な量の漸近評価が得られるものがあります。この考察は一番初めに新谷氏によってなされ、ガウス予想の別証明と誤差項の改良が得られました。現在は、ゼータ関数をアデール化して調べることで、他にいくつかの密度定理が証明されています。講演では、ゼータ関数と密度定理の関係について、最近の研究結果も含めて紹介する予定です。アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）．

参考文献:

Datskovsky, Boris A. : A mean-value theorem for class numbers of quadratic extensions. A tribute to Emil Grosswald: number theory and related analysis, 179--242, Contemp. Math., 143, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993

Datskovsky, Boris; Wright, David J. : Density of discriminants of cubic extensions. J. Reine Angew. Math. 386 (1988), 116--138.

Kable, Anthony C.; Yukie, Akihiko : The mean value of the product of class numbers of paired quadratic fields I. to appear in Tohoku Math. J.

 

(12) 広中 由美子（早稲田大）「p進線型形式の空間上の球関数や局所密度への応用」

要旨： p進体上の交代形式・対称形式・エルミート形式などの空間上の球関数や局所密度の具体的表示を、概均質ベクトル空間のゼータ関数の関数等式を利用して得ることができる。そのことを紹介したい．報告集原稿（dvi）

参考文献:

Y.Hironaka & F.Sato : local densities of alternating forms, J.N.T. 33(1989),

Y.Hironaka : Spherical functions and local densities on hermitian forms, J. Math. Soc. Japan 51(1999),

Y.Hironaka : Local zeta functions on hermitian forms and its application to local densiteis, J.N.T. 71(1998).

 

(13) 高瀬 幸一（宮城教大）「保型形式の次元公式と概均質ベクトル空間」

要旨：

1）可積分表現に付随する保型形式の定義と次元公式、

2）次元公式に対する中心的冪単共役類の寄与と概均質ベクトル空間のゼータ関数、

3）関連して生ずる幾つかの問題について、あまり細部に立ち入らずに全体の構図が判るような講義をしたい。アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）．

参考文献：

1)T.Shintani; On zeta functions associated with the vector space of quadratic forms J.Fac.Sci. Univ. Tokyo 22 (1975), 25--65

2)伊吹山知義; Dimension of holomorphic automorphic forms of tube domains; The contribution of central unipotent elements and zeta functionsa of prehomogeneous vector spaces, 第3回整数論オータムワークショップ報告集

3)Steven A.Gaal; Linear Analysis and Rpresentation Theory, Die Grundlehren der math. Wiss. in Einzel. 198

 

(14) 齋藤 裕（京大）「ゼータ関数の具体的表示について」

対称行列全体のなすの空間の場合を例として，代数体上の概均質ベクトル空間のゼータ関数を具体的に表示する試みについて述べる．特に，ガロアコホモロジーを用いて得られる，代数体上のゼータ関数の局所体上の軌道ゼータ関数による表示について述べる．アブストラクト（dvi）、報告集原稿（dvi）．

参考文献：

M. Borovoi, Abelian cohomology of reductive groups, Mem. of A.M.S.

V.Platonov and A. Rapinchuk, Algebraic groups and number theory, Academic Press.

J-P. Serre, Cohomologie Galoisienne, LNM 5.

 

(15) 落合 啓之（東工大）「概均質ベクトル空間の理論の応用（不変式論への応用）」

1. 序：概観（と総括）

2. 概均質ベクトル空間の構造と表現論の補足

3. 不変式論

4. 第1基本定理

5* モジュライ

詳細未定。

参考文献：

Goodman-Wallach: Representations and invariants of the classical groups, Cambridge.

(Mumford: Geometric invariant theory, 3rd ed., Springer)

梅田亨：不変式論入門以前、論集「現代の母函数」

(or R. Howe: Remarks on classical invariant theory)

向井茂：モジュライ理論、岩波講座

アブストラクト、報告集原稿（dvi）

 

概均質ベクトル空間の表

 

宮内通孝（神戸大）、古典群のfundamental strata

報告集原稿（dvi）

 

知念宏司（大阪工大、近大理工学部 非常勤講師）、原始根分布とその周辺 ---循環小数もおもしろい---

報告集原稿（dvi）

 

八森祥隆（学習院大）、岩澤理論の紹介

報告集原稿（dvi）

報告集原稿

一括ダウンロード：Tar + gz版、lzh版

個別ダウンロード：表紙、目次、木村氏、若槻氏、杉山氏、上野氏1、上野氏2、
佐藤氏1、佐藤氏2、落合氏1、落合氏2（注：手書きの図の部分は空白です）、
名倉氏、谷口氏、広中氏、高瀬氏、斎藤氏、落合氏3、概均質ベクトル空間の表、
宮内氏、知念氏、八森氏．

文献

概均質ベクトル空間に関する文献表のホームページ．

サマースクール世話係

大野泰生（近畿大）ohno@math.kindai.ac.jp, 小木曽岳義（城西大）kogiso@math.josai.ac.jp

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